Պատմության ընթացքում մարդ արարածը միշտ կարիք է ունեցել հաշվել, արտահայտել առևտրային գործողություններ և լուծել այլ խնդիրներ, որոնք առաջացել են մաթեմատիկայի զարգացման ընթացքում: Մենք կվերլուծենք տարբեր բազմությունների էվոլյուցիան այնպես, որ դրանցից յուրաքանչյուրը պարունակվի հաջորդում:
Հաշման տեխնիկա ասելով մենք հասկանում ենք ցանկացած ալգորիթմ, որն օգտագործվում է հաշվելու, այսինքն՝ բազմության կարդինալը գտնելու համար: Հաշվիչ տեխնիկայի շրջանակներում Կոմբինատորիկան արժանի է հատուկ վերաբերմունքի՝ տատանումներ, փոխարկումներ և համակցություններ;
Այս գրառման մեջ մենք պատրաստվում ենք ուսումնասիրել ածանցյալների ամենակարևոր կիրառություններից մեկը՝ շոշափողի և նորմալ գծի հավասարումը; ինչպես նաև տարբեր հավելվածներ, որոնք մենք կարող ենք գտնել: Մենք կսկսենք դիտարկելով ածանցյալի մեկնաբանությունը, այնուհետև երեք տեսակի վարժություններ, որոնք կարող ենք գտնել.
ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ Ժյուլ Անրի Պուանկարեն 19-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս էր, ով աչքի էր ընկնում ոչ միայն իր մաթեմատիկական աշխատանքով, այլև որպես ֆիզիկոս, տեսական գիտնական և փիլիսոփա: Ֆիզիկայի բնագավառում նրա կարևորագույն աշխատություններից առանձնանում են լույսի և էլեկտրամագնիսական ալիքների տեսությանն առնչվող աշխատանքները։ Ինչ վերաբերում է մաթեմատիկայի, նա աչքի է ընկել իր մաթեմատիկական աշխատություններով Տոպոլոգիայի բնագավառում (մաթեմատիկայի ճյուղ, որը զբաղվում է երկրաչափական մար
Այսօր մենք կուսումնասիրենք ֆունկցիաների մեկ այլ հատկություն (և/կամ շարքերը, ինչպես հետագայում կտեսնենք): Մենք նախ կուսումնասիրենք, երբ ասենք, որ ֆունկցիան սահմանափակված է վերևում և երբ այն սահմանափակված է ներքևում, որպեսզի վերջապես կարողանանք որոշել, թե երբ է սահմանափակված ֆունկցիան:
Բնական թվերի անվերջ լինելու պատճառով անհրաժեշտ է փնտրել բառերի, նշանների և կանոնների մի շարք, որոնք թույլ են տալիս որոշել բնական թվերը և հակառակը; մինչդեռ կարողանալով աշխատել նրանց հետ: Այս գրառման մեջ մենք պատրաստվում ենք սահմանել համարակալման համակարգերը, դրանց հատկությունները և ամենատարածվածներից մի քանիսը, ինչպես օրինակ, որն օգտագործում ենք՝ տասնորդական համակարգը:
Այսօր մենք աշխատելու ենք զվարճալի վարժության հետ, որը կարելի է կատարել բոլոր մակարդակներում՝ փոփոխելով դրա բարդությունը՝ կախարդական քառակուսիներ: կախարդական քառակուսիները աղյուսակներ են, կամ ավելի լավ է ասել, ցանցեր ամբողջ թվերով այնպես, որ տողերի և սյունակների թվերի գումարը, ինչպես նաև թվերի գումարը.
Հանրահաշվական լեզուն -ը խորհրդանիշների և թվերի թարգմանության միջոց է, որը մենք սովորաբար ընդունում ենք որպես որոշակի արտահայտություններ: Այս կերպ անհայտ մեծությունները կարելի է շահարկել հեշտ գրվող խորհրդանիշներով, ինչը թույլ է տալիս պարզեցնել թեորեմներ , ձևակերպել հավասարումներ և անհավասարումներ և ուսումնասիրել, թե ինչպես լուծել դրանք։ Այս լեզուն օգնում է մեզ լուծել մաթեմատիկական խնդիրներ ՝ ցույց տալով ընդհանրություններ:
Երեկ մենք կատարեցինք երկրաչափական մարմինների ուսումնասիրություն։ Այսօր մենք պատրաստվում ենք շարունակել այդ ուսումնասիրությունը, բայց այս դեպքում որոշ հատուկ երկրաչափական մարմիններ՝ կլոր մարմիններ։ Կլոր մարմինները երկրաչափական պատկերներ են, որոնք ունեն իրենց կոր դեմքերից առնվազն մեկը:
Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կատարել պատահական փոփոխականի ուսումնասիրություն՝ կախված տվյալ տեսակից, մենք տեսել ենք, թե ինչպես կազմել հաճախականության աղյուսակը և ինչպես հաշվարկել դիրքի և դիսպերսիայի չափումները: Այսօր մենք կկենտրոնանանք հաճախականության աղյուսակներում հավաքագրված տվյալները ներկայացնելու տարբեր եղանակների վրա, որոնք կախված կլինեն այն փոփոխականի տեսակից, որի հետ մենք աշխատում ենք:
Կոտորակը կամ կոտրվածը ինչ-որ բանի մասերի բաժանումն է: Եթե օրինակ վերցնենք 2/4 կոտորակը, այն կարդացվում է որպես երկու չորրորդ, և այն, ինչ անում է, նշանակում է երկու մաս չորս ընդհանուր մասերի վրա: Այդ դեպքում մենք կարող ենք տեսնել, որ այն, ինչ տալիս է այս կոտորակի անունը, այն թիվն է, որից ներքև մենք անվանում ենք հայտարար, քանի որ կոտորակը «անվանում ենք» որպես երկու «չորրորդ»:
Մաթեմատիկական ոլորտում կոտորակը կամ կոտորակը ինչ-որ բանի մասերի բաժանումն է: Եթե օրինակ վերցնենք ¾ կոտորակը, ապա այն կարդացվում է որպես երեք քառորդ, և այն, ինչ անում է, նշանակում է երեք մաս չորս ընդհանուրի վրա: Այստեղ մենք կարող ենք տեսնել, որ այս կոտորակի անունը տալիս է ներքևի թիվ, որը մենք անվանում ենք հայտարար, քանի որ կոտորակը անվանում ենք «երեք քառորդ»:
Երկար, շատ երկար ամառից հետո անհրաժեշտ է վերադառնալ առօրյային։ Մենք հետ ենք նայում դեպի մաթեմատիկա և այսօր պետք է ուսումնասիրենք երկրաչափական մարմինների բնութագրերը, այսինքն՝ դեմքերի թիվը, գագաթները, համաչափության առանցքները և այլն։ Սկզբում մենք կսկսենք խորանարդից:
Կոմբինատոր վերլուծությամբ մենք վերաբերում ենք հանրահաշվի այն հատվածին, որն ուսումնասիրում է տվյալ տարրերով կազմված խմբերի ուսումնասիրությունը, որոնք տարբերվում են միմյանցից յուրաքանչյուր խմբում ներառված տարրերի քանակով. տարրերի տեսակը և ըստ դրանց տեղադրման հերթականության։ Տարբեր խմբեր ձևավորելու համար հասանելի տարրերի թիվը կոչվում է հիմք, մինչդեռ յուրաքանչյուր խմբում ներգրավված տարրերի քանակը կոչվում է կարգ:
Ինչպես արդեն գիտենք, կոմբինատորիկան հանրահաշվի այն մասն է, որը զբաղվում է որոշ տարրերով կազմվող խմբերի ուսումնասիրությամբ՝ տարբերակելով տարրերի քանակը, տեսակը և կարգը։ Ձևավորված խմբավորումները կարող են լինել տատանումներ, փոխակերպումներ կամ համակցություններ:
Ճառագայթումը սահմանվում է որպես հզորացման հակադարձ գործողություն: Հզորությունը մաթեմատիկական արտահայտություն է, որը ներառում է երկու անվանված տերմիններ՝ a հիմք և n աստիճան: Գրված է հետևյալ կերպ. Կարդում է նման, «a բարձրացրել է n» Բնակեցման սահմանումը ավելի լավ հասկանալու համար, ենթադրենք, որ մեզ տրված է a թիվ և խնդրվում է հաշվել մյուսը, այնպես, որ բազմապատկելով ինքն իրեն b թվով, մեզ տրվում է a թիվը:
Կոմբինատորիկան մաթեմատիկայի ճյուղ է, որը զբաղվում է առարկաների վերջավոր բազմությունների ուսումնասիրությամբ, որոնք բավարարում են որոշակի չափանիշներին, և որը հատկապես վերաբերում է այդպիսի բազմությունների օբյեկտների հաշվմանը: Այլ կերպ ասած, դա հանրահաշվի մի մասն է, որը պատասխանատու է ձևավորվող խմբերի ուսումնասիրության համար՝ տարբերակելով յուրաքանչյուր խումբ կազմող տարրերի քանակը, այդ տարրերի տեսակը և դրանց հերթականությունը։ Կոմբինատորական խնդիրը սովորաբար բաղկացած է կա
Հենց որ հավաքագրվեն ընտրանքային տվյալները, որոնք մենք պատրաստվում ենք ուսումնասիրել, անհրաժեշտ է դրանք խմբավորել՝ դրանք դասավորելով աղյուսակի տեսքով, այս աղյուսակը կոչվում է հաճախականության բաշխում կամհաճախականության աղյուսակ. Այս բաժնում մենք կկենտրոնանանք միաչափ պատահական փոփոխականների հաճախականության աղյուսակների վրա (հետագայում կուսումնասիրենք երկչափ պատահական փոփոխականները):
Մենք կանվանենք համակցված գործողություններ դրանք, որոնցում մի քանի թվաբանական գործողություններ կարծես թե լուծելի են: Ճիշտ արդյունք ստանալու համար անհրաժեշտ է պահպանել որոշ կանոններ և հաշվի առնել գործողությունների միջև առաջնահերթությունը։ Առաջին հերթին, ներկա տերմինները պետք է առանձնացվեն, որպեսզի հետագայում կարողանանք լուծել դրանցից յուրաքանչյուրը:
ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ Թող f լինի A տիրույթում սահմանված շարունակական ֆունկցիա, f-ի ֆունկցիայի ածանցյալը սահմանված է A բազմության a կետում և նշանակվում է f´(a)-ով:, երբ հաջորդ սահմանային արժեքը՝ Եթե կանչենք h=x-a, ապա կարող ենք սահմանումը գրել նաև հետևյալ կերպ.
եռանկյունաչափական նույնականությունները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող հավասարություններ են: Այս նույնականությունները միշտ օգտակար են, երբ մեզ անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունները, որոնք ներառում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, անկախ այն բանից, թե ինչ արժեքներ են վերագրվում այն անկյուններին, որոնց համար սահմանվում են այս հարաբերակցությունները:
Հատկանիշի վիճակագրական ուսումնասիրություն իրականացնելու համար, որը մենք ցանկանում ենք ուսումնասիրել որոշակի պոպուլյացիայի մեջ, անհրաժեշտ է վերլուծել նշված բնակչության ընտրանքը, որից մենք կարող ենք ստանալ կոնկրետ թվեր, որոնք թույլ են տալիս վերլուծել հավաքվածը:
Մենք պատրաստվում ենք ուսումնասիրել մաթեմատիկական վերլուծության նոր հայեցակարգ՝ կոմպոզիտ ֆունկցիա: Կոմպոզիտային ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը ձևավորվում է երկու ֆունկցիաների բաղադրությամբ, այսինքն՝ ֆունկցիան, որն առաջանում է սկզբում x-ի վրա ֆունկցիա կիրառելուց, այնուհետև այս արդյունքին նոր ֆունկցիա կիրառելուց:
Այսօրվա հոդվածում մենք վերադառնում ենք Վիճակագրության ճյուղ՝ խոսելու ամենակարևոր դիսկրետ բաշխումներից մեկի՝ Poisson բաշխման մասին: Այս բաշխումն օգտագործվում է այն իրավիճակներում, երբ դուք ցանկանում եք որոշել որոշակի տիպի իրադարձությունների քանակը, որոնք տեղի են ունենում տվյալ տարածության կամ ժամանակի միջակայքում:
Մենք այսօր ուսումնասիրելու ենք հնության երեք ամենահայտնի խնդիրներից մեկը՝ շրջանագծի քառակուսին,իրականում համարվում է անհնարին խնդիր, և վերջում. 19-րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆերդինանդ Լինդեմանը ցույց տվեց, որ խնդիրն անլուծելի է pi թվի տրանսցենդենտալ բնույթի պատճառով:
Այսօրվա հոդվածում մենք պատրաստվում ենք ուսումնասիրել քառակուսային ֆունկցիաների , այսինքն՝ երկրորդ աստիճանի հավասարումների ներկայացումը։ Նկատի ունենալով, որ երկրորդ աստիճանի հավասարումների գրաֆիկները համապատասխանում են պարաբոլաներին, այս գրառման մեջ մենք կուսումնասիրենք դրանց բնորոշ տարրերը։ PERFORMANCE Մենք կսկսենք առաջին քայլերից, որոնք մենք պատրաստվում ենք հաշվի առնել քառակուսի ֆունկցիայի ներկայացումն իրականացնելու համար, որը, ինչպես գիտենք, ունի ձև՝:
Երկու շրջանագծերի հարաբերական դիրքերը տեսնելուց հետո այսօր ուսումնասիրելու ենք շրջանագծի անկյունները։ Կենտրոնական անկյուն: Դա այն անկյունն է, որն ունի իր գագաթը շրջագծի կենտրոնում, այսինքն՝ անկյուն, որը որոշվում է երկու ճառագայթներով, որոնց սկիզբը գտնվում է կենտրոնում, և հետևաբար դրանք շրջագծի շառավիղներ են:
Մաթեմատիկայում ամեն ինչ չէ, որ թվեր են, թեորեմներ, ապացույցներ, հաշվարկներ… և երկար և այլն անվերջ բաներ, որոնք նույնքան ձանձրալի են հնչում (չնայած ինձ համար դրանք չեն): Այսօր մենք բացահայտելու ենք պարսիկ մեծ մաթեմատիկոսի գրական կողմը, ով ծնվել է 11-րդ դարում՝ Օմար Ջայամ.
Երբ մենք տեսնենք գոյություն ունեցող մեթոդները, որպեսզի կարողանանք լուծել գծային հավասարումների համակարգերը, մենք նաև կուսումնասիրենք ինչպես լուծել որոշ ոչ գծային համակարգեր՝ օգտագործելով այս մեթոդները:. Շատ կարևոր է ճիշտ մեթոդ ընտրելը, հակառակ դեպքում դրա լուծումը կարող է լինել շատ ծանր, դժվար և, հետևաբար, հեշտ սխալվել։ Մենք ոչ գծային համակարգ ենք անվանում այն հավասարումների համակարգ, որտեղ համակարգը կազմող հավասարումներից մեկը կամ երկուսը ոչ գծային հավասարումներ են
Նախորդ առիթներով մենք ուսումնասիրել ենք շրջանագծի որոշ բնութագրեր, ինչպիսիք են շփման կետերը, այսինքն՝ շրջանագծի և գծի հարաբերական դիրքը: Բայց հիմա եկել է շրջանի երկրաչափության մասին ավելի շատ ուսումնասիրելու ժամանակը: Սկսելու համար մենք կտեսնենք մի քանի նախորդ պաշտոնական սահմանումներ.
Մենք այսօր ուսումնասիրելու ենք երկու անհայտով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման տարբեր մեթոդներ։ Գծային հավասարումների համակարգերն ունեն ձև՝ որտեղ a, b, c, a´, b´ և c´ իրական թվեր են: Հավասարումների այս տիպի համակարգը լուծելու համար, այսինքն՝ գտե՛ք x և y արժեքը, որը բավարարում է երկու հավասարումներին.
Հենց կոմպոզիտային ֆունկցիան տեսնենք, կուսումնասիրենք նաև հակադարձ ֆունկցիան: Քանի որ մենք դա նախկինում նշել ենք միացությունների ֆունկցիաների հատկություններում։ Այս առիթով մենք կուսումնասիրենք հակադարձ ֆունկցիան ստանալու գործընթացը, ինչպես նաև կտեսնենք հակադարձ ֆունկցիաների մի քանի կարևոր օրինակներ և ինչպես են դրանք ներկայացված:
Հիմնական մաթեմատիկոսը, ով համարվում է բազմությունների տեսության նախորդը, Ջորջ Կանտորն է, գերմանացի մաթեմատիկոս, ով ապրել է 1845-ից 1918 թվականներին: Բազմությունների տեսությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որը, ինչպես ցույց է տալիս իր անունը, ուսումնասիրում է բազմությունների հատկությունները:
Մենք պատրաստվում ենք մի փոքր խորանալ թվերի տեսության մեջ՝ ներկայացնելով մի նոր հայեցակարգ, որը միևնույն ժամանակ քաջ հայտնի է բոլորին. պարզ թվեր։ Մենք հստակ չգիտենք, թե կոնկրետ որ տարում են հայտնվել պարզ թվերը, բայց ավելի քան 20000 տարի առաջ (ինչը ասվում է շուտով) թվում է, որ նրանք աշխատել են նրանց հետ կամ գոնե գիտեն դրանք՝ պայմանավորված ոսկորում հայտնաբերված հետքեր.
Շարունակում ենք աշխատել Թվերի տեսության վրա, այսօր հերթը Դիոֆանտին հավասարումներինն է, որոնք, ինչպես ցույց է տալիս իրենց անունը, պայմանավորված են Դիոֆանտով։, հին հույն մաթեմատիկոս, ում աշխատանքը մեծ նշանակություն և ազդեցություն ունեցավ հետագա սերունդների վրա։ Դիոֆանտոսի կողմից վերաբերվող խնդիրները վերաբերում էին զուտ թվային ասպեկտներին, որոնցում միջամտում են ամբողջ թվերի հատկությունները:
Ինչպես նշել ենք նախորդ հոդվածներում, մաթեմատիկայի ամենակարեւոր կիրառություններից մեկը օպտիմալացման խնդիրների լուծումն է: Բայց ի՞նչ ենք հասկանում օպտիմալացման խնդիրներ ասելով: Ինչպե՞ս կարող ենք դրանք լուծել: Մի անհանգստացեք, քանի որ ձեր այս և մյուս մտահոգությունները կլուծվեն, եթե շարունակեք կարդալ:
Մենք արդեն բազմիցս աշխատել ենք մատրիցների հետ և, փաստորեն, խոսել ենք նաև մատրիցայի աստիճանի մասին. բայց ի՞նչ ենք հասկանում մատրիցայի աստիճան ասելով: Իսկ ինչպե՞ս կարող ենք հաշվարկել։ Սրանք այն հարցերն են, որոնց մենք պատրաստվում ենք պատասխանել այս գրառման մեջ:
գծային ծրագրավորում-ը օպտիմալացման խնդիրներ լուծելու մեթոդ է, որոնք ենթակա են մի շարք պայմանների կամ սահմանափակումների, որոնք տրվում են մի շարք անհավասարություններով: Այս տիպի խնդրի լուծումն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է այդ սահմանափակումները ներկայացնել հարթության մեջ, որը կառաջացնի իրագործելի շրջան , այսինքն.
Ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացումը կատարելիս ամենակարևոր բնութագրիչներից մեկը դրա միապաղաղությունն ուսումնասիրելն է, այսինքն՝ որտեղ մեր ֆունկցիան մեծանում և նվազում է։ Ինչպես նաև առավելագույն և/կամ նվազագույնների սահմանում այն դեպքում, երբ դրանք ունեցել են:
Թալես Միլետացին (մ.թ.ա. 630 – մ.թ.ա. 545) եղել է ամենահայտնի հույն փիլիսոփաներից մեկը, բայց ոչ միայն առանձնանում է դրանով, այլև, ինչպես բոլոր իմաստունները: ժամանակը, աչքի է ընկել նաև որպես գիտնական և մաթեմատիկոս, որտեղ նրա ներդրումը երկրաչափության մեջ շատ կարևոր է, և այդ ներդրումներից մեկն այն է, որի վրա մենք պատրաստվում ենք կենտրոնանալ՝ հայտնի «Թալեսի թեորեմը».